割り算の筆算

ここでは掛け算の筆算について説明します皆さんは58÷3の筆算を以下のように教わったと思います。

\begin{array}{r}
19\\
3 \rlap{ \enclose{longdiv} {\phantom{ 58 } }} \hspace{0.5em} 58  \\
\rlap{ \underline{ \phantom{3} }} 3\phantom{0}\\
28\\
\rlap{ \underline{{\phantom{27}}} } 27 \\
\phantom{00}1
\end{array}

この解説の前に割り算の用語について説明します。割り算は「割られる数」を「割る数」で割ります。上の筆算では割られる数は58、割る数は3です。割り算をした答えを「商」と呼び上の筆算では19がそれに当たります。商は割られる数から割る数を何回引けるかを表しています。また割り切れなかった数(割る数で引くことができない数)を「余り」と呼び、上の筆算では一番下の1に当たります。

本題の解説に入りますが、まず58の「5」の上に1を書くのは5は十の位なので実際は50を表しています。50から引き算できる十の位の3の倍数は「30」です。もし5の上に2を書くと2✕3つまり「十の位の2」と3をかけるので20✕3=60となり、58から引くことができません。ここまでを式にすると

\begin{align}
58－3✕10=28
\end{align}

となり、58から3を10回引けることが分かりました。なぜ掛け算が引く回数になるかと言いますと、例えば10-2-2-2は10から2を3回引けることを意味しています。この式の答えは4です。また2を3回引くことを10-2✕3でも表すことができます。この式の計算結果は10-6=4で先程と同じになります。つまりここでの掛け算は何回引けるかを表しています。

今度はこの28を割ることを考えます。そうすると28を超えない最大の3の倍数は27になります。27=3✕9なので28から3を9回引けることが分かります。余りは1でこれから3を引くことができません。

よって商(割られる数から割る数を引くことができる回数)は10+9で19回になります。これが筆算の上の数字の意味です。筆算の一番下の数である1は余り(3で引くことができない数)を表しています。これが割り算の筆算の仕組みです。

これを式で表すと

\begin{align}
58－3 \times 19=1 \\
58 = 3 \times 19 + 1
\end{align}

となります。一般的に割り算は

\begin{align}
割られる数=割る数 \times 商 + 余り
\end{align}

と表現できます。